Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 2. Задача 5.5

Однородный стержень длины L висит на шарнирной подвеске. Стержень отклоняют до горизонтального положения и отпускают. Какой будет угловая скорость стержня в момент прохождения им положения равновесия?

Потенциальная энергия стержня равна

$E_{p}={\frac {mgL}{2}}$

Кинетическая энергия малого элемента стержня равна

$dE_{c}={\frac {dr}{L}}m{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {m\omega ^{2}}{2L}}r^{2}dr$

Кинетическая энергия всего стержня равна

$E_{c}={\frac {m\omega ^{2}}{2L}}\int _{0}^{L}r^{2}dr={\frac {m\omega ^{2}L^{2}}{6}}$

Откуда

$\omega ={\sqrt {\frac {3g}{L}}}$