Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 2. Задача 5.4

Легкий стержень может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. На стержне на расстояниях $r_{1}$ и $r_{2}$ по разные стороны от оси закреплены два небольших груза массы $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол $\alpha$и отпустили. Какой будет угловая скорость стержня в момент прохождения им положения равновесия?

Пусть $r_{1}$ -- большая масса. Потенциальная энергия стержня равна

$E_{p}=m_{1}gr_{1}(1-\cos \alpha )-m_{2}gr_{2}(1-\cos \alpha )=(m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2})g(1-\cos \alpha )$

Кинетическая энергия равна

$E_{c}={\frac {m_{1}\omega ^{2}r_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}\omega ^{2}r_{2}^{2}}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}(m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2})$

Тогда угловая скорость при прохождении равновесия равна

$\omega ={\sqrt {\frac {2(m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2})g(1-\cos \alpha )}{m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}}}}$