Difference between revisions of "Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 2. Задача 5.1"

Latest revision as of 12:20, 20 March 2016

Прикрепленный к легкой вертикальной пружине груз в положении равновесия растягивает пружину на ${\displaystyle x_{0}}$.

а) На какую величину растянется пружина, если этому грузу предоставить возможность падать свободно из такого положения, при котором пружина не растянута?

Коэффицент жесткости пружины равен

${\displaystyle k={\frac {F}{x_{0}}}={\frac {mg}{x_{0}}}}$

Энергия деформированной пружины равна

${\displaystyle E=\int _{0}^{h}\!kx\,\mathrm {d} x={\frac {kh^{2}}{2}}}$

В точке максимального рачтяжения пружины вся гравитационная энергия переходит в энергию упругости.

${\displaystyle mgh={\frac {mgh^{2}}{2x_{0}}}}$

${\displaystyle h=2x_{0}}$

б) Какой максимальной скорости достигает груз в процессе движения?

Запишем баланс энергии в системе

${\displaystyle mgh={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {mgh^{2}}{2x_{0}}}}$

Откуда

${\displaystyle v^{2}=2gh-{\frac {gh^{2}}{x_{0}}}}$

Скорость и ее квадрат достигают максимума, когда производная равна 0.

${\displaystyle 0=2g-{\frac {2gh}{x_{0}}}}$

${\displaystyle h=x_{0}}$

Тогда скорость равна

${\displaystyle gx_{0}={\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {gx_{0}}{2}}}$

${\displaystyle v={\sqrt {gx_{0}}}}$

в) Чему равно ускорение груза в нижней и верхней точках?

В верхней точке на тело действует только сила тяжести. Значит ускорение равно ${\displaystyle g}$.

В нижней точке на тело дейтствует сила тяжести и сила полностью растянутой пружины

${\displaystyle F=2kx_{0}-mg={\frac {mg}{x_{0}}}\cdot 2x_{0}-mg=mg}$

Значит ускорение в нижней точке равно ${\displaystyle g}$ и направлено вверх.

г) Каков характер движения груза?

По второму закону Ньютона

${\displaystyle ma=F=-kx}$

Иначе говоря

${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {kx}{m}}x}$

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания.