Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 2. Задача 5.1

Прикрепленный к легкой вертикальной пружине груз в положении равновесия растягивает пружину на $x_{0}$.

а) На какую величину растянется пружина, если этому грузу предоставить возможность падать свободно из такого положения, при котором пружина не растянута?

Коэффицент жесткости пружины равен

$k={\frac {F}{x_{0}}}={\frac {mg}{x_{0}}}$

Энергия деформированной пружины равна

$E=\int _{0}^{h}\!kx\,\mathrm {d} x={\frac {kh^{2}}{2}}$

В точке максимального рачтяжения пружины вся гравитационная энергия переходит в энергию упругости.

$mgh={\frac {mgh^{2}}{2x_{0}}}$

$h=2x_{0}$

б) Какой максимальной скорости достигает груз в процессе движения?

Запишем баланс энергии в системе

$mgh={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {mgh^{2}}{2x_{0}}}$

Откуда

$v^{2}=2gh-{\frac {gh^{2}}{x_{0}}}$

Скорость и ее квадрат достигают максимума, когда производная равна 0.

$0=2g-{\frac {2gh}{x_{0}}}$

$h=x_{0}$

Тогда скорость равна

$gx_{0}={\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {gx_{0}}{2}}$

$v={\sqrt {gx_{0}}}$

в) Чему равно ускорение груза в нижней и верхней точках?

В верхней точке на тело действует только сила тяжести. Значит ускорение равно $g$.

В нижней точке на тело дейтствует сила тяжести и сила полностью растянутой пружины

$F=2kx_{0}-mg={\frac {mg}{x_{0}}}\cdot 2x_{0}-mg=mg$

Значит ускорение в нижней точке равно $g$ и направлено вверх.

г) Каков характер движения груза?

По второму закону Ньютона

$ma=F=-kx$

Иначе говоря

${\ddot {x}}=-{\frac {kx}{m}}x$

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания.