Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 1. Задача 2.35

Эта задача не сходится с ответом. Значит где-то здесь или в ответе есть ошибка.

Пусть x -- расстояние между собакой и точкой пересечения дорожки и проволки. Пусть у -- расстояние между кольцом и точкой пересечения дорожки и проволки.

По условию в заданный момент $x=y$. Тогда $x=y=L/{\sqrt {3}}$

По теореме косинусов:

$L^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos 120^{\circ }$

$L^{2}=x^{2}+y^{2}+xy$

Дифференцируя это выражение как неявную функцию, получем

$0=2xx\prime +2yy\prime +x\prime y+xy\prime$

Откуда

$y\prime =-{\frac {2xx\prime +yx\prime }{2y+x}}=-x\prime$

Что также следует из симметрии задачи.

Дифференцируя еще раз, получем

$0=2{x\prime }^{2}+2xx\prime \prime +2{y\prime }^{2}+2yy\prime \prime +x\prime \prime y+x\prime y\prime +x\prime y\prime +xy\prime \prime$

Так как по условию $x\prime \prime =0$, получаем:

$0=2{x\prime }^{2}+2{y\prime }^{2}+2yy\prime \prime +x\prime y\prime +x\prime y\prime +xy\prime \prime$

Подставляя $y\prime =-x\prime$ и приведя подобные, получаем:

$0=2{x\prime }^{2}+2yy\prime \prime +xy\prime \prime$

Откуда

$y\prime \prime ={\frac {2{x\prime }^{2}}{2y+x}}$

$y\prime \prime ={\frac {2V^{2}}{{\sqrt {3}}L}}$

Тогда сила натяжения троса равна:

$y\prime \prime =m{\frac {2V^{2}}{{\sqrt {3}}L}}$