Difference between revisions of "Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 1. Задача 2.17"

Latest revision as of 05:22, 17 January 2016

Эта система имеет 2 степени свободыю В качестве координат выберем положение клина x и высоту груза на клине h.

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости груза равны:

${\displaystyle V_{x}={\dot {x}}+{\dot {h}}\cot \alpha }$

${\displaystyle V_{y}={\dot {h}}}$

Тогда

${\displaystyle L={\frac {M}{2}}{\dot {x}}^{2}+{\frac {m}{2}}({\dot {h}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {h}}^{2}\cot ^{2}\alpha +2{\dot {x}}{\dot {h}}\cot \alpha )-mgh}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial h}}=-mg}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {h}}}}=m{\dot {h}}(1+\cot ^{2}\alpha )+m{\dot {x}}\cot \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m{\dot {h}}\cot \alpha }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {h}}(1+\cot ^{2}\alpha )+m{\dot {x}}\cot \alpha )=-mg}$

${\displaystyle {\ddot {h}}(1+\cot ^{2}\alpha )+{\ddot {x}}\cot \alpha =-g}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}((M+m){\dot {x}}+m{\dot {h}}\cot \alpha )=0}$

${\displaystyle (M+m){\ddot {x}}+m{\ddot {h}}\cot \alpha =0}$

Так как нухно найти ${\displaystyle {\ddot {x}}}$, то нужно просто решить систему линейных уравнений.

${\displaystyle {\ddot {h}}=-{\frac {(M+m){\ddot {x}}}{m\cot \alpha }}}$

${\displaystyle -{\frac {(M+m){\ddot {x}}(1+\cot ^{2}\alpha )}{mcot\alpha }}+{\ddot {x}}\cot \alpha =-g}$

${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {g}{{\frac {(M+m)(1+\cot ^{2}\alpha )}{m\cot \alpha }}+\cot \alpha }}={\frac {mg\sin \alpha \cos \alpha }{M+m\sin ^{2}\alpha }}}$