Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. Механика 1. Задача 2.17

Эта система имеет 2 степени свободыю В качестве координат выберем положение клина x и высоту груза на клине h.

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости груза равны:

$V_{x}={\dot {x}}+{\dot {h}}\cot \alpha$

$V_{y}={\dot {h}}$

Тогда

$L={\frac {M}{2}}{\dot {x}}^{2}+{\frac {m}{2}}({\dot {h}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {h}}^{2}\cot ^{2}\alpha +2{\dot {x}}{\dot {h}}\cot \alpha )-mgh$

${\frac {\partial L}{\partial h}}=-mg$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {h}}}}=m{\dot {h}}(1+\cot ^{2}\alpha )+m{\dot {x}}\cot \alpha$

${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m{\dot {h}}\cot \alpha$

${\frac {d}{dt}}(m{\dot {h}}(1+\cot ^{2}\alpha )+m{\dot {x}}\cot \alpha )=-mg$

${\ddot {h}}(1+\cot ^{2}\alpha )+{\ddot {x}}\cot \alpha =-g$

${\frac {d}{dt}}((M+m){\dot {x}}+m{\dot {h}}\cot \alpha )=0$

$(M+m){\ddot {x}}+m{\ddot {h}}\cot \alpha =0$

Так как нухно найти ${\ddot {x}}$, то нужно просто решить систему линейных уравнений.

${\ddot {h}}=-{\frac {(M+m){\ddot {x}}}{m\cot \alpha }}$

$-{\frac {(M+m){\ddot {x}}(1+\cot ^{2}\alpha )}{mcot\alpha }}+{\ddot {x}}\cot \alpha =-g$

${\ddot {x}}={\frac {g}{{\frac {(M+m)(1+\cot ^{2}\alpha )}{m\cot \alpha }}+\cot \alpha }}={\frac {mg\sin \alpha \cos \alpha }{M+m\sin ^{2}\alpha }}$